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옵션 가격을 구해봅시다카테고리 없음 2021. 10. 31. 16:23
앞서 선물과 옵션의 기초에 대해 알아보았습니다.
선물에 대한 기초적인 개념인 ‘롱포지션’과 ‘숏포지션’에 대한 이해를 통해 ‘매수 포지션’을 통해 수익과 손실이 나는 원리, ‘매도 포지션’을 통해 수익과 손실이 아는 원리를 익혔습니다.
적정 선물 가격을 구하는 방법도 배웠습니다.
이를 토대로 옵션에 대한 기초적인 개념인 콜옵션과 풋옵션을 알았고 각각 수익과 손실이 나는 조건과 원리를 익혔습니다.
앞서 배운 내용을 보고 이렇게 생각할 수도 있습니다.
'그렇다면 옵션에 대한 가격은 어떻게 구하는 거야?’
궁금증을 가지는 모습을 보면 저는 참을 수 없습니다.
그렇기에 특별히 오늘은 옵션 중, 콜옵션의 가격을 구할 수 있는 방법을 알려드리겠습니다.
옵션 가격을 정하는 모형 중 가장 간단하여 이해하기 쉬운 방법이 있습니다.
바로 이항 분포를 이용하는 것인데요.
이항분포를 통해 콜옵션 가격을 구하는 방법을 알려드리겠습니다.
현실에 적용하기 위해서 기초자산의 자산의 가격이 현재 이후의 특정 시기에 수익과 손실을 볼 가능성이 있다고 가정합니다.
이러한 가정을 바탕으로 두 과정을 거쳐 계산합니다.
첫 번째는 옵션과 동일한 지급액을 줄 수 있는 복제 포트폴리오를 구성합니다.
전부는 아니지만 대부분은 위험자산인 주식과 안전자산인 채권을 함께 구성하여 포트폴리오를 구성하기에 간단하게 주식과 채권으로 포트폴리오를 구성합니다.
두 번째는 무차익의 원리에 의한 일물일가의 법칙을 적용합니다.
미래에 동일한 수익을 주는 상품들은 가격이 동일해야 합니다.설령 동일하지 않더라도 시장은 효율적이라고 보기에 결국은 모두 같은 가격으로 수렴할 것입니다.
위 가정과 두 가지 과정을 통해 콜옵션 가격을 구합니다.
1 기간 모형
만기가 1 기간(1년이라 가정)인 콜옵션을 예를 들어보겠습니다.
기초자산인 주식의 현재 가격이 50만 원이며 배당은 없습니다.
1년 뒤에 이 주식 가격은 20%가 오르던가 20% 하락할 수 있습니다.
(정확한 수치에 대한 점은 비현실적일 순 있으나 이익과 손실에 대한 가능성을 모두 염두한다는 점은 현실에 반영할 수 있게 됩니다)
채권의 가격은 주당 1만 원이라고 가정합니다.
그리고 무위험 이자율은 6%라고 가정하겠습니다.
채권은 위험이 없기에 1년 후에는 1.06만 원이 됩니다.
콜옵션은 행사 가격이 50만 원이기에 1년 뒤 주가가 60만 원일 경우에는 옵션을 행사하여 10만 원의 이득을 볼 것이며, 40만 원일 경우에는 옵션을 행사하지 않을 것입니다.
첫 번째 과정대로 복제 포트폴리오를 만들어 보겠습니다.
복제 포트폴리오의 주식의 개수를 x, 채권의 개수를 y라고 가정하겠습니다.
1년 뒤 주가가 상승하는 경우의 복제 포트폴리오의 수익은 60x + 1.06y입니다.
이는 그 상황에서의 콜옵션의 가치 10과 같아야 합니다.
즉, 60x + 1.06y = 10만 원이 되어야 하는 것입니다.
반대로 주가가 하락하는 경우에는 콜옵션을 행사하지 않아 가치가 0이기에
40x + 1.06y = 0만원이 됩니다.
이 두 식을 이용하면 x와 y를 구할 수 있습니다.
x = 0.5, y = -18.8679
입니다.
복제 포트폴리오는 주식 0.5주와 채권 -18.8679개로 구성되는 것을 알 수 있습니다.
두 번째 과정대로 일물일가 법칙을 적용하면 복제 포트폴리오와 현재 포트폴리오의 가격은 같아야 합니다.
이를 통해 포트폴리오 가격을 구하면
50x + 1y = 50 * 0.5 + 1 * (-18.8679) = 6.13만 원이 나옵니다.
이처럼 콜옵션의 가격을 구할 수 있습니다.
이러한 방법은 콜옵션에만 국한되는 것이 아닌 풋옵션에도 적용이 됩니다.
예를 들어 어떤 주식이 60만 원입니다.
1년 동안 주가는 20% 오를 수도 있고 10%가 내려갈 수도 있습니다.
무위험 이자율은 3%입니다.
행사 가격은 60만 원입니다.
앞선 방법대로 복제 포트폴리오를 만들어 수익이 나는 경우와 손실을 보는 경우를 만들어 주식수(x)와 채권수(y)를 구합니다.
풋옵션이기에 가격이 상승하면 옵션을 행사하지 않기에
72x + 1.03y = 0
이며
가격이 하락하는 경우엔 옵션을 행사하기에
54x + 1.03y = 6만 원
입니다.
이를 통해
x = -0.3333, y = 23.30
을 알 수 있습니다.
풋옵션의 가격은 복제 포트폴리오의 최초 투자비용과 일치해야 합니다.
그렇기에
60x + 1y = 60*(-0.3333) + 1*23.30 = 3.3
이 도출됩니다.
누군가는 이렇게 쉬운 방법으로 옵션의 가격을 구하는 것을 보고 "이 방법들을 현실에 적용할 수 있을까?"라고 생각할 수 있습니다.
예시 같은 경우에는 1년의 주기를 한 번으로 설정해서 구했습니다.
하지만 1년의 주기를 1일로 바꾸고 한 번을 무한대로 설정한다면 어떨까요?
아마 현실과 크게 다르지 않을 것입니다.
1일의 주기를 12시간, 6시간, 3시간, 1시간으로 줄인다면 계산과 현실 가격의 괴리는 줄어들 것입니다.
가격 상승과 하락에 대한 예측도 더욱 세밀하게 구한다면 현실과 다르지 않은 모형이 될 것입니다.
다만 이럴 경우 상승(A)과 하락(B)에 대한 각각의 값을 구한 뒤, 다시 A가 상승, 하락할 값과 B가 상승, 하락할 값을 구하고 이에 대하여 또 값을 구해야 하기에 가정이 기하급수적으로 늘어납니다.
이를 직접 구하기엔 어려움보다는 무한에 가까운 시간을 필요로 합니다.
앞서 말한 주기를 짧게, 주기를 무한히 설정하면 연속에 가까워질 것입니다.
이런 경우의 옵션 가격을 보여주는 것이 블랙-숄스 모형입니다.
블랙-숄스 모형은 함께하는 다른 팀원이 설명해드리도록 하며 오늘은 옵션의 가격을 구하는 방법에 대해 알아보았습니다.